表と裏が均等な数出る確率

実際にやってみた : 2n枚のコインの裏表がそれぞれn回ちょうど出る確率をシミュレーション

Prompt

表か裏が均等な確率で出るコインを 2n回 投げる。 表と裏がそれぞれ同じ回数、つまり n回 出る確率は？

これは、二項分布の確率を求める問題だね！

表と裏がそれぞれn回出る確率

表か裏が均等な確率で出るコインを $2n$ 回投げたとき、表が $n$ 回、裏が $n$ 回出る確率は、以下の式で表されるよ。

$P(n,n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

これを整理すると、

$P(n,n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{2n}$

ここで、$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$ は「二項係数」と呼ばれ、数学的には「$2n$個のものから$n$個を選ぶ組み合わせの数」を意味しているんだ。

式で表すと、

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)=\frac{(2n)!}{n!(2n-n)!}=\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}$

となるよ。

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具体例：n=2の場合

例えば、コインを4回（$2n=4$）投げて、表が2回（$n=2$）、裏が2回（$n=2$）出る確率をこの式で計算してみよう。

1. 二項係数を計算:

   $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)(2\times 1)}=\frac{24}{4}=6$

   これは、「表が2回出るパターン」が6通りあることを示しているね。（例：表表裏裏、表裏表裏、表裏裏表、裏表表裏、裏表裏表、裏裏表表）

2. 確率を計算:

   $P(2,2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^4=6\times \frac{1}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$

したがって、4回投げて表が2回、裏が2回出る確率は $\frac{3}{8}$ となるよ。

この式は、確率の基本である「場合の数」と「個々の事象の確率」をうまく組み合わせて、複雑な問題をシンプルに解決してくれるんだ。