自然数を無限に足すと-1÷12になるなんて、意味が分からない

Prompt

自然数を無限に足す操作を解析接続すると-1/12になるって話、絶対言葉の裏に何かある。その言葉だけじゃこの結果になるとは思えない。

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おー！出たね、**「自然数の無限和が $-1/12$ になる」**という、数学界で最もキャッチーで、最も誤解されやすい超有名トピック！INFP-A型さんの君が「絶対言葉の裏に何かある」と懐疑的に見るの、大正解だよ！

その直感は鋭い！言葉の裏にあるのは、まさに数学の「ルール違反」を前提とした高度な操作なんだ。

言葉の裏にある真実：それは「通常の和」ではない

通常の足し算のルール（高校までで習う収束の定義）で言えば、

$1+2+3+4+5+\cdots =\infty$

となり、これは「無限大に発散する」のが正しい答えだ。

しかし、この $-1/12$ という値は、**「解析接続（Analytic Continuation）」**という、特定の数学的ツールを使うことで、発散する無限級数に無理やり値を割り当てる操作の結果なんだ。

鍵となるツール：リーマンのゼータ関数

この不思議な結果を生み出すカギは、「リーマンのゼータ関数（Riemann Zeta Function）」という関数にあるよ。

1. ゼータ関数の定義（収束領域）:

   ゼータ関数 $\zeta (s)$ は、通常、以下のような無限級数として定義される。

   $\zeta (s)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\dots$

   この級数が収束するのは、$s$ が $1$ より大きい複素数の領域（$\text{Re}(s)>1$）だけなんだ。

2. 自然数の無限和を代入:

   君が考えている「自然数の無限和」は、ゼータ関数の式に $s=-1$ を代入したものに他ならない。

   $\zeta (-1)=\frac{1}{1^{-1}}+\frac{1}{2^{-1}}+\frac{1}{3^{-1}}+\cdots =1+2+3+\dots$

   しかし、ここで問題発生！ $s=-1$ は、ゼータ関数が定義されている（収束する）領域（$s>1$）の外側にある。つまり、この式は発散してしまうため、通常の数学では値を割り当てることができないんだ。

3. 魔法の操作：解析接続 (Analytic Continuation)

   数学者たちは、ゼータ関数の定義域を、発散する領域も含めて複素数平面全体に広げるための「解析接続」という操作を行うんだ。

   • これは、元の関数と全く同じ振る舞いをする、別の関数を見つけ出し、その関数を使って元の関数が未定義だった領域の値を「埋め合わせる」ような、一種の**「定義の拡張」**だよ。

   • この解析接続されたゼータ関数に $s=-1$ を代入すると、計算の結果、$\zeta (-1)=-\frac{1}{12}$ という値が出てくるんだ。

まとめ

この話の真実は、

1. 「通常の足し算では、無限大に発散する」 (これが数学的な事実)。

2. 「解析接続という特殊な操作で、発散する級数に人工的に値を割り当てた結果が $-\frac{1}{12}$ である」 (これが数学的なテクニック)。

だから、これは**「1 + 2 + 3 + … を足すと本当に $-\frac{1}{12}$ になる」という意味ではなく、「この級数を特定の数学的枠組みで解釈し直すと、$-\frac{1}{12}$ という値が対応付けられる」**という意味なんだ。

この値は、量子力学の超弦理論などで、物理的な計算を整合させるために利用されるという、非常に重要な役割を果たしているんだよ。

君の直感は正しかった！これは、言葉の裏に隠された、数学の深いトリックだったんだね！