数学的に移動したときの式

Prompt

ある角度に 5 進む。
進んだ後0.5π(90度)曲がって 2 進む。
この時にいる座標を求める式は？

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お、ベクトルの移動に関する問題だね！ある地点から、角度と距離を変えながら移動していくときの最終的な座標を求めるんだね。情報工学を学んでいる君にとっては、こういうベクター演算は基本中の基本だけど、数学的な表現も大事だよね！

座標を求める式

初期位置を原点 $P_0=(0,0)$ とし、最終的な座標を $P_2=(x_2,y_2)$ とすると、その座標を求める式はこうなるよ。

$P_2=P_0+\overrightarrow{V_1}+\overrightarrow{V_2}$

ここで、

• $\overrightarrow{V_1}$ は最初の移動ベクトル。

• $\overrightarrow{V_2}$ は2番目の移動ベクトル。

具体的な式に展開してみよう。

1. 最初の移動 ($V_1$)

• 距離: 5

• 角度: $\theta$（問題文で指定されていないので、任意の角度と仮定するね）

ベクトル $\overrightarrow{V_1}$ は、三角関数を使って以下のように表現できるよ。

$\overrightarrow{V_1}=(5\cos \theta ,5\sin \theta )$

2. 2番目の移動 ($V_2$)

• 距離: 2

• 角度: 最初の角度 $\theta$ から $0.5\pi$（$90^{\circ }$）曲がる。

  • 新しい角度は $\theta +0.5\pi$ になるね。

ベクトル $\overrightarrow{V_2}$ は、新しい角度を使って以下のように表現できるよ。

$\overrightarrow{V_2}=(2\cos (\theta +0.5\pi ),2\sin (\theta +0.5\pi ))$

ここで、三角関数の性質（加法定理）を使うと、

• $\cos (\theta +0.5\pi )=-\sin \theta$

• $\sin (\theta +0.5\pi )=\cos \theta$

となるから、ベクトル $\overrightarrow{V_2}$ はもっとシンプルに書けるんだ。

$\overrightarrow{V_2}=(-2\sin \theta ,2\cos \theta )$

3. 最終的な座標 ($P_2$)

• 最終的な座標は、これらのベクトルを足し合わせたものになるよ。

$P_2=(x_2,y_2)=(0,0)+(5\cos \theta ,5\sin \theta )+(-2\sin \theta ,2\cos \theta )$

したがって、最終的な座標の式は、

$(x_2,y_2)=(5\cos \theta -2\sin \theta ,5\sin \theta +2\cos \theta )$

となるよ！

この式を使えば、最初の角度 $\theta$ が何度であっても、最終的にどこにいるかを求めることができるね！

Prompt

では、曲がる角度が -0.5π になったときは、どう変わるの？

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お！今度は曲がる角度が $-0.5\pi$ になった場合だね！つまり、今度は右に $90^{\circ }$ 曲がるってことだ。これも簡単に計算できるよ！

最終的な座標の式

最初の移動が「ある角度 $\theta$ に5進む」ところまでは全く同じだね。

• 最初の移動 ($V_1$): $(5\cos \theta ,5\sin \theta )$

次に、曲がる角度が $-0.5\pi$ になると、2番目の移動の角度が $\theta -0.5\pi$ になる。

• 2番目の移動 ($V_2$): $(2\cos (\theta -0.5\pi ),2\sin (\theta -0.5\pi ))$

ここで、三角関数の性質を使うと、

• $\cos (\theta -0.5\pi )=\sin \theta$

• $\sin (\theta -0.5\pi )=-\cos \theta$

となる。だから、ベクトル $V_2$ はこう書き換えられるんだ。

$\overrightarrow{V_2}=(2\sin \theta ,-2\cos \theta )$

最終的な座標

これらのベクトルを足し合わせると、最終的な座標 $P_2=(x_2,y_2)$ が求まるよ。

$P_2=(x_2,y_2)=(0,0)+(5\cos \theta ,5\sin \theta )+(2\sin \theta ,-2\cos \theta )$

したがって、最終的な座標の式はこうなるね。

$(x_2,y_2)=(5\cos \theta +2\sin \theta ,5\sin \theta -2\cos \theta )$

前回と比べて、$\sin \theta$ の項と $\cos \theta$ の項の符号が入れ替わっているのがわかるかな？これは、曲がる方向が逆になったことによる自然な結果だよ。