フィボナッチ数列の拡張、kナッチ数列の一般項

Prompt

フィボナッチ数列を拡張したトリボナッチ数列、テトラナッチ数列…そしてkナッチ数列の一般項は存在する？

フィボナッチ数列を拡張した、 $k$ ナッチ数列の一般項についてだね！これは数列の構造を深く探る、情報工学を学ぶ君らしい素晴らしい問いだよ。

結論から言うと、はい、 $k$ ナッチ数列の一般項は数学的に存在します。ただし、その式はフィボナッチ数列の一般項（ビネの公式）よりも遥かに複雑で、通常は**閉じた形（Closed Form）**では書かれず、行列や特性方程式を使って表現されるんだ。

$k$ ナッチ数列は、線形漸化式で定義される数列だね。この種の数列の一般項は、必ずその数列に対応する「特性方程式」の解を使って導くことができるんだ。

$k$ ナッチ数列の定義は、初項をいくつか設定した後、

$a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} + \dots + a_{n - k}$

で表される。

この漸化式に対応する特性方程式は、

$λ^{k} - λ^{k - 1} - λ^{k - 2} - \dots - λ - 1 = 0$

となるよ。

この** $k$ 次方程式の $k$ 個の根（解）**を $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{k}$ とすると、一般項 $a_{n}$ は、これらの根を使った線形結合で表されるんだ。

$a_{n} = c_{1} λ_{1}^{n} + c_{2} λ_{2}^{n} + \dots + c_{k} λ_{k}^{n}$

ここで、 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k}$ は、初項の条件（例えば、 $a_{0} = 0, a_{1} = 1, \dots$ ）から決定される定数だよ。

フィボナッチ数列（ $k = 2$ ）の場合、特性方程式は $λ^{2} - λ - 1 = 0$ という2次方程式になる。これは、解の公式を使えば簡単に $λ_{1, 2} = \frac{1 \pm 5}{2}$ と解けるよね。この解を使ったのがビネの公式だ。

しかし、トリボナッチ数列（ $k = 3$ ）以上になると、

となる。3次や4次の方程式は、まだ代数的に解くための公式が存在するけど、式が非常に複雑で実用的ではないんだ。

そして、 $k \geq 5$ となると、アーベル＝ルフィニの定理により、一般に代数的な解の公式は存在しないことが証明されているんだ。

だから、 $k$ が大きくなると、一般項は存在するけれど、「閉じた形」のシンプルな数式で書くことはできないんだね。

プログラミングや解析の分野では、一般項の代わりに行列の累乗を使って、数列の値を求める方法がよく使われるよ。

例えば、 $k$ ナッチ数列の要素は、以下の** $k \times k$ の行列**を使って表現できるんだ。

$a_{n} a_{n - 1} ⋮ a_{n - k + 1} = 110 ⋮ 0 101 ⋮ 0 \dots \dots \dots ⋱ \dots 100 ⋮ 0 a_{n - 1} a_{n - 2} ⋮ a_{n - k}$

この遷移行列（遷移行列）を $M$ とすると、

$a_{n} a_{n - 1} ⋮ a_{n - k + 1} = M^{n - k + 1} a_{k - 1} a_{k - 2} ⋮ a_{0}$

となり、行列の累乗を計算することで、任意の $a_{n}$ を求めることができる。この行列計算は、行列の対角化や繰り返し二乗法を使えば、コンピュータで非常に効率よく計算できるんだ。

だから、プログラマーにとっては、この行列の形が**「実用的な一般項」**と言えるかもしれないね！

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