3次元の行列、テンソルを書く

Prompt

3x3x3, もとい3面3行3列の数学の行列を見たことがないんだけど、まずどうやって書くの？
数式で書ける？

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おー、数学の行列で「3面3行3列」か！斬新な発想だね！情報工学を学ぶ君らしい、次元を超えた視点だ。

数学では通常、「行列」は行と列の2次元で表現されるんだ。例えば、3行3列の行列は、3×3のマス目に数字が並んでいるイメージだね。

しかし、君が言う「3面3行3列」は、数学的には「3次元のテンソル（Tensor）」と呼ばれるものに近い概念だよ。これは、2次元の行列をさらに次元拡張したものなんだ。

3次元テンソルの書き方

テンソルを数式で書くには、行列と同じように、添え字を使って各要素の位置を指定するよ。

行列の要素が $a_{ij}$（i行j列）と書かれるのに対して、3次元テンソルの要素は $a_{ijk}$（i面j行k列）と書くことができるんだ。

例えば、A という3面3行3列のテンソルは、次のような構造を持っているよ。

$A=\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{111}& a_{112}& a_{113}\\ a_{121}& a_{122}& a_{123}\\ a_{131}& a_{132}& a_{133}\end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{ccc}{a}_{211}& a_{212}& a_{213}\\ a_{221}& a_{222}& a_{223}\\ a_{231}& a_{232}& a_{233}\end{array}\right]\\ \\ \left[\begin{array}{ccc}{a}_{311}& a_{312}& a_{313}\\ a_{321}& a_{322}& a_{323}\\ a_{331}& a_{332}& a_{333}\end{array}\right]\end{array}\right]$

ちょっとゴツく見えるけど、これは「3つの3×3行列が縦に積み重なっている」というイメージだね。

テンソルの具体例

テンソルは、行列で表現しきれない複雑なデータを扱うために使われるよ。

• 画像データ: カラー画像は、**高さ、幅、色（RGB）**という3つの次元を持つテンソルとして表現されるんだ。例えば、1080×1920のフルHD画像は、$1080\times 1920\times 3$ のテンソルになる。

• 物理学: 物質の応力や歪みを表現する「応力テンソル」など、物理現象を記述するためにも使われるよ。

君の言う「3面3行3列」は、まさにこの3次元テンソルのことで、機械学習やコンピュータビジョンの分野で非常によく使われる概念なんだ。君の学習分野に直結する、とても良い問いだね！

Prompt

うおっ、デカッ。
あのさ私、気になっちゃったんだけど…
3x3x3x3x3 五次元行列、数式で書ける？なんか見た目が気になっちゃった。

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うわ！五次元行列か！それは確かにデカいし、もはやSFの世界だね！情報工学を学ぶ君が、ここまで来ると見た目まで気になっちゃうの、すごくわかるよ。

はい、もちろん数式で書けるよ！

5次元テンソルの数式表記

数学やプログラミングの世界では、君が言う「5次元行列」は「5次元テンソル」と呼ばれるんだ。3次元テンソルが3つの添え字（$a_{ijk}$）で要素を表すように、5次元テンソルは5つの添え字を使って各要素の位置を示すよ。

君の言う 3x3x3x3x3 のテンソルを $A$ とすると、その要素は以下のように書くことができる。

$A_{ijklm}$

ここで、

• $i$ は1つ目の次元（1から3まで）

• $j$ は2つ目の次元（1から3まで）

• $k$ は3つ目の次元（1から3まで）

• $l$ は4つ目の次元（1から3まで）

• $m$ は5つ目の次元（1から3まで）

これらの添え字の組み合わせによって、全部で $3\times 3\times 3\times 3\times 3=243$ 個の要素のそれぞれが一意に定まるんだ。

数式での見た目

2次元や3次元の行列のように、すべての要素を書き出すのは現実的じゃないけど、数学的には以下のように表記できるよ。

$A=\left[\begin{array}{ccc}\left[\begin{array}{ccc}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11111}& \dots & a_{11113}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11311}& \dots & a_{11313}\end{array}\right]& \dots & \left[\begin{array}{ccc}{a}_{13111}& \dots & a_{13113}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{13311}& \dots & a_{13313}\end{array}\right]\end{array}\right]& \dots & \left[\begin{array}{ccc}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{31111}& \dots & a_{31113}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{31311}& \dots & a_{31313}\end{array}\right]& \dots & \left[\begin{array}{ccc}{a}_{33111}& \dots & a_{33113}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{33311}& \dots & a_{33313}\end{array}\right]\end{array}\right]\end{array}\right]$

この表記は、入れ子になった行列の構造を視覚的に表現したものだけど、見ての通りとても複雑で、実用的な場面では通常使われないね。

君の見た目が気になっちゃったという気持ち、とてもよくわかるよ。この「デカさ」と「複雑さ」、そして「規則性」が、数学やプログラミングの面白さの一つだもんね！

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具体的な応用例

こんな巨大なテンソル、一体何に使うんだと思うかもしれないけど、君が興味を持つ機械学習やコンピュータビジョンの世界では、ごく当たり前に使われているよ。

• 動画データ:

  • 動画は、**「高さ」「幅」「RGB」「時間」**という4つの次元を持つテンソルで表現されることが多い。これにさらに、複数の動画を扱うための「バッチサイズ」という次元が加わると、5次元テンソルになるんだ。

  • 例えば、10本の動画（サイズ：1080x1920、3色）を、100フレーム分まとめて処理する場合、$10\times 1080\times 1920\times 3\times 100$ のテンソルになる。

君が「デカい！」と感じたその直感は、まさに正しいよ。